循環小数と分数の変換

循環小数を既約分数に、分数を循環小数に変換します。「10n倍して引く」途中式と、分母の素因数分解による「有限小数になるか」の判定つき。整数を桁のまま計算するので、桁の多い数でも丸め誤差が出ません。

循環小数 → 分数

分数 → 循環小数

既約分数 a/b（b>0）は、分母 b の素因数が 2 と 5 だけなら有限小数、それ以外の素因数を含むと循環小数になります。小数点のあと循環が始まるまでの桁数は、b に含まれる 2 と 5 の指数の大きいほう、循環節の長さは 10k を b' で割った余りが 1 になる最小の k です（b' は b から 2 と 5 を除いた数）。

入力の上限：小数は数字60桁まで、分子は30桁、分母は12桁まで。循環節の表示は5,000桁までです。計算はブラウザ内だけで行います。

循環小数と分数の変換でできること

0.1(36) のような循環小数を既約分数に、3/22 のような分数を循環小数に変換します。10のn乗倍して引く途中式と、分母の素因数分解で有限小数になるかの判定も表示します。

使い方

  1. 「循環小数 → 分数」の「小数」に、循環節を括弧でくくって 0.1(36) のように入力します。括弧を使わず 0.1363636 と入れる場合は「循環節」に 36 を入れます。
  2. 既約分数と、10^n倍して引く途中式、分母の素因数分解と判定を確認します。
  3. 「分数 → 循環小数」の「分子」「分母」に整数を入れると、循環節に上線をつけた小数と括弧表記、循環節の長さが表示されます。
  4. 例ボタンで 0.(3) や 1/7 などを試せます。「答えをコピー」で結果をコピーできます。

計算の仕組みと注意点

よくある質問

0.1363636…を分数にするとどうなりますか？

3/22 です。1000x − 10x = 136.36… − 1.36… = 135 から x = 135/990 = 3/22 になります。「小数」に 0.1(36) と入れると途中式が確認できます。

0.999…が1になるのはなぜですか？

x = 0.(9) とおくと 10x − x = 9 となり、x = 1 です。例ボタンの 0.(9) で途中式を確認できます。

分数が有限小数になるかはどう見分けますか？

既約分数にしたとき、分母の素因数が2と5だけなら有限小数になります。たとえば 7/40 は 40 = 2^3 × 5 なので有限小数（0.175）です。分母を入れると判定が表示されます。

1/7 の循環節は何桁ですか？

142857 の6桁です。「分数 → 循環小数」で分子1・分母7を入れると、循環節の長さが表示されます。